東工大工学院システム制御系過去問解答 2021問題1

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問1

(1)$\sqrt{1+x}$のテイラー展開$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x+O(x^2)$を用いて

\begin{aligned} \lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+x}-x) &= \lim_{x\to\infty}(x(\sqrt{1+\frac{1}{x}}-1)) \\\ &= \lim_{x\to\infty}(x(\frac{1}{2}\frac{1}{x}+O(\frac{1}{x^2})) \\\ &= \lim_{x\to\infty}(\frac{1}{2}+O(\frac{1}{x}))\\\ &=\frac{1}{2}\end{aligned}

(2)$\log_xy=\frac{\ln y}{\ln x}$に注意すれば

\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}&=3x^2-\frac{\ln y}{\ln^2 x}\frac{1}{x}\\\ \frac{\partial z}{\partial y}&=3y^2+\frac{1}{\ln x}\frac{1}{y} \end{aligned}

とわかる。

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$なので

\begin{aligned} dz=(3x^2-\frac{\ln y}{\ln^2 x}\frac{1}{x})dx+(3y^2+\frac{1}{\ln x}\frac{1}{y})dy \end{aligned}

(3)$f(z)=\frac{e^z}{z(z+1)}$とする。経路$C$は$f(z)$の1位の極$0,-1$を内側に含む。これらの極の留数を求めると

\begin{aligned} \mathrm{Res}(0)=1,\,\mathrm{Res}(-1)=-e^{-1} \end{aligned}

なので積分値は

\begin{aligned}\int_C f(z)dz&=2\pi i(\mathrm{Res}(0)+\mathrm{Res}(-1)) \\\ &=2\pi(1-e^{-1})i\end{aligned}

問2

円柱体Pを表す式$x^2+y^2\leq ax$は変形すると$(x-\frac{a}{2})^2+y^2\leq (\frac{a}{2})^2$なので円柱体Pとxy平面の交わる部分は下図のようになる。

上図の赤く塗られた領域を$C$とする。求める体積は球体Sの球面のうち$z\geq 0$の部分を表す関数$f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$を$C$上で積分したものの2倍である。それを求めると、

\begin{aligned}\int_C f(x,y)dxdy&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^{\cos\theta}dr r\sqrt{a^2-r^2} \\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} -\frac{1}{3}((a^2\sin^2\theta)^{\frac{3}{2}}-a^3)d\theta\\\ &= -\frac{2}{3}a^3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^3\theta d\theta+\frac{1}{3}a^3\pi\\\ &=-\frac{4}{9}a^3+\frac{1}{3}a^3\pi\end{aligned}

となる。ただし一行目左辺から右辺への変形は直交座標系から極座標系への座標変換を行なった。