東工大工学院システム制御系過去問解答 2021問題2

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問1

$f(x)\geq 0$なので$x^*=\mathrm{argmin} f(x)=\mathrm{argmin} f^2(x)$である。$\mathrm{argmin} f^2(x)$を求める。

\begin{aligned} \nabla_xf^2(x)&=\nabla_x(Ax-b)^T(Ax-b)\\\ &=2(A^TAx-A^Tb) \end{aligned}

である。従って$A^TA$が正則ならば$x^*=(A^TA)^{-1}A^Tb$である。(1)(2)(3)の全てがこの方針で解くことができる。

(1)$x^*=(3,-1)^T$、$f(x^*)=0$

(2)$x^*=(1,1)^T$、$f(x^*)=0$

(3)$x^*=(\frac{1}{2},0)^T$、$f(x^*)=\frac{1}{2}$

※上記の方針は一般化逆行列を求める場合と同様の方針である。$x=(x_1,x_2)^T$などと置いて$f(x)$を$x_1,x_2$とみて最小化しても良い。この問題に関してはそちらの方が楽かもしれない。

問2

$n\times n$の巡回行列

\begin{aligned} C&= \begin{bmatrix} c_0 & c_1 & \cdots & \cdots & c_{n-1}\\\ c_ {n-1}& c_0 & \ddots & & \vdots \\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\\ \vdots & & \ddots & c_0 & c_1 \\\ c_1 & \cdots & \cdots & c_{n-1} & c_0 \end{bmatrix} \end{aligned}

を定義する。

$f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}c_i x^i$、$\omega=\exp(\frac{2\pi i}{n})$として$C$の固有値は$f(1),f(\omega),f(\omega^2),...,f(\omega^{n-1})$であり、固有値$f(\omega^k)$に対応する固有ベクトルは$(1,\omega^k,\omega^{2k},...,\omega^{(n-1)k})$である。

証明は[1]の第3章参照

これを用いて(1)(2)(3)を解くと

(1)固有値は$1,\omega,\omega^2$

それぞれに対応する固有ベクトルが$(1,1,1)^T,(1,\omega,\omega^2)^T,(1,\omega^2,\omega)^T$

(2)固有値は$0,\omega -\omega^2,\omega^2 -\omega$

それぞれに対応する固有ベクトルが$(1,1,1)^T,(1,\omega,\omega^2)^T,(1,\omega^2,\omega)^T$

(3)固有値は$a+b+c,a+b\omega +c\omega^2,a+b\omega^2 +c\omega$

それぞれに対応する固有ベクトルが$(1,1,1)^T,(1,\omega,\omega^2)^T,(1,\omega^2,\omega)^T$

※(1)(2)を通常の固有値、固有ベクトルを求める手続きにより解き、どちらの固有ベクトルも一致していることから類推して(3)の固有ベクトルを求めるというのが想定された解法だと思われる。

参考文献

[1]http://cms.db.tokushima-u.ac.jp/DAV/lecture/125260/LectureNote/Circuit/coupledDS.pdf