東工大工学院システム制御系過去問解答　2021問題3

問題は→過去問題 | 大学院課程入学案内 | 大学院で学びたい方 | 東京工業大学

問1

(1)

\begin{aligned} H(s) &= \int_0^\infty dt e^{-st}\int_0^t dτ f(τ)g(t-τ) \\\ &= \int_0^\infty dτ \int_τ^\infty dt e^{-st}f(τ)g(t-τ) \\\ &= \int_0^\infty dτ\int_0^\infty dt' e^{-s(t'+τ)}f(τ)g(t') \\\ &= \int_0^\infty e^{-sτ}f(τ)dτ \int_0^\infty e^{-st'}g(t')dt' \\\ &= F(s)G(s) \end{aligned}

として示される。ただし２行目から３行目の変形で$t'=t-τ$を用いた。

(2)$e^{-at}$のラプラス変換が$\frac{1}{s+a}$であることを用いる。

\begin{aligned} \mathscr{L}[f(t)]&=\frac{1}{2i}(\mathscr{L}[e^{it}]-\mathscr{L}[e^{-it}])\\\ &= \frac{1}{2i}(\frac{1}{s-i}-\frac{1}{s+i})\\\ &= \frac{1}{s^2+1} \\\ \mathscr{L}[g(t)]&=\frac{1}{s+1}\end{aligned}

(3)(1)(2)の結果から

\begin{aligned} H(s)=F(s)G(s)=\frac{1}{s^2+1}\frac{1}{s+1} \end{aligned}

となる。これを部分分数分解すると

\begin{aligned} H(s)=-\frac{1}{2i(1-i)}\frac{1}{s+i}+\frac{1}{2i(1+i)}\frac{1}{s-i}+\frac{1}{2}\frac{1}{s+1} \end{aligned}

である。ここで逆ラプラス変換をして整理すると

\begin{aligned} h(t)=\frac{1}{2}\sin t-\frac{1}{2}\cos t +\frac{1}{2}e^{-t} \end{aligned}

とわかる。

問2

計算問題なので答えのみ

(1)

\begin{aligned} \varphi(t)&=\int_0^\infty e^{ixt}\lambda e^{-\lambda x}dx \\\ &=\frac{\lambda}{\lambda -it} \end{aligned}

(2)

\begin{aligned} \left. -i\frac{d}{dt} \varphi(t)\right|_{t=0}&=\frac{1}{\lambda}\end{aligned}

(3)

\begin{aligned} E[X^3] &= \left. (-i)^3\frac{d^3}{dt^3} \varphi(t)\right|_{t=0} \\\ &=\frac{6}{\lambda^3}\end{aligned}